Popper, a tábua de Galton e a experiência da dupla fenda: o teste estatístico do qui-quadrado

No seguimento do post anterior, e de modo a poderem testar quão próximas (ou não) vão ser as distribuições das esferas nas duas tábuas de Galton, os alunos do grupo Os Poppers tiveram de aprender algumas noções sobre o teste estatístico do qui-quadrado, matéria dada na disciplina de Biologia do ensino secundário de países anglo-saxónicos como os EUA e Inglaterra, onde os alunos têm de aprender a testar predições quantitativas sobre sistemas biológicos.

De modo a manter tudo o mais simples possível, os alunos do Clube de Ciências aprenderam o teste do qui-quadrado a partir do livro Nuffield Science Calculations, dirigido a alunos ingleses dos 11-14 anos e 14-16 anos inscritos em cursos GCSE de Ciência.

O qui-quadrado é, então, uma variável estatística calculada a partir do somatório das diferenças entre os resultados observados, Oi, e os resultados esperados, Ei, de acordo com a seguinte fórmula:

onde i = 1, 2, ..., k é o n.º de divisões (ou classes ou 'caixas') pelas quais se distribuem os vários resultados.

 Comparando o valor calculado com certos valores críticos (que dependem do nível de probabilidade e dos chamados 'graus de liberdade') é possível determinar quão bem os resultados observados se aproximam dos esperados. A tabela abaixo apresenta vários desses valores críticos, para diferentes níveis de probabilidade (em %) e graus de liberdade (g.l.):

O exercício seguinte, retirado do livro supracitado, pode mostrar como se aplica o teste do qui-quadrado e qual o significado dos 'graus de liberdade'.
 
Considere-se uma experiência simples com 96 bichos-de-conta contidos numa caixa dividida em duas metades, estando a metade A às escuras e a metade B iluminada. Com todas as outras variáveis controladas, o n.º observado de bichos-de-conta em cada uma das metades foi:

Metade A (às escuras): 73 bichos-de-conta   ||   Metade B (iluminada): 23 bichos-de-conta

 

Serão estes resultados devidos ao acaso? Se não, que conclusões se podem retirar da experiência?
 
RESOLUÇÃO: 
 
Dados:
Oescuro = 73; Oiluminado = 23
Eescuro = 48; Eiluminado = 48 (admitindo que os bichos-de-conta se distribuíram aleatoriamente pelas duas metades da caixa)

Calculando o valor do qui-quadrado, obtém-se:

onde 10,83 é o valor crítico da tabela para 1 grau de liberdade e um nível de probabilidade de 0,1%. O 'grau de liberdade' é a resposta à pergunta: "Se o animal não fez esta escolha, quantas mais estavam disponíveis?". Neste caso, existia apenas mais uma escolha ou grau de liberdade. O valor 0,1% representa a probabilidade de os resultados obtidos se deverem ao acaso, pelo que, com um nível de confiança de 99,9%, podemos concluir que outra razão, para além do acaso, foi responsável pelos resultados da experiência, podendo-se considerar que os bichos-de-conta preferem ambientes escuros.

No caso do projecto "Popper, a tábua de Galton e a experiência da dupla fenda", as duas tábuas de Galton foram construídas com 5 divisões na base (todas com a mesma largura), pelo que, para cada esfera depositada numa dada divisão, mais 4 divisões estariam disponíveis - sendo por isso que, na experiência conduzida pelos alunos do Clube de Ciências, o número de graus de liberdade é de 4.